Persamaan Nilai Mutlak; Konsep, Sifat dan Contoh Soal

PERSAMAAN NILAI MUTLAK

persamaan nilai mutlak

Apakah kalian sudah tau apa itu mutlak?
Mutlak dinotasikan dengan “| |” . Nilai mutlak suatu bilangan real x, dinyatakan dengan |x|, didefinisikan sebagai berikut ini:
|x| = x jika x ≥ 0
|x| = -x jika x < 0
Contohnya:
1. |4| hasilnya adalah 4 (positif) karena 4 ≥ 0.
2. |0| hasilnya adalah 0 karena 0 ≥ 0.
3. |-4| = – (-4) = 4 (jika dilihat menurut definisi -4 < 0 maka |-4| = – (-4) hasilnya adalah 4)
Definisi dari mutlak tidak mengatakan bahwa |-x| = x (bisa dilihat dan dipahami dari contoh x = -4). |x| atau “mutlak x” bisa di definisakan dengan “selalu tak negatif” dan benar bahwa |-x| = |x|.

  1. Konsep Nilai Mutlak

Jika kalian belum memahami apa itu nilai mutlak, kalian bisa membayangkan nilai mutlak sebagai jarak yang tidak berarah. Contohnya, |x | maka dapat diartikan dengan nilai mutlak dari x adalah jarak antara x dengan titik asal. Demikian pula untuk |x – a|  adalah jarak antara x dan a. (dapat dilihat pada Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3).

konsep nilai mutlak

konsep nilai mutlak

Sifat-sifat Nilai Mutlak

sifat-sifat nilai mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak pada persamaan nilai mutlak:

 

  1. |a| 0
  2. |-a| = |a|
  3. |a – b| = |b – a|
  4. |a| =
  5. |a|2 = a2
  6. Jika |a| < |b|, maka a2 < b2
  7. |ab| = |a||b|
  8. |a + b| = |a| + |b|
  9. |a b| = ||a| – |b||

 

 

 

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak

Contoh 1. Nilai dari |2 – 6| adalah …

Jawab :

|2 – 6| = |6 – 2| = |4| = 4

Penyelesaian dengan konsep jarak:

 

contoh soal persamaan nilai mutlak

Contoh 2. Hitung nilai x pada persamaan |x – 7| = 12!

Jawab:

Berdasarkan definisi nilai mutlak ada dua kemungkinan nilai dari x, yaitu bernilai positif atau negatif

a. |x| = x jika x ≥ 0

x – 7 = 12

      x = 12 + 7

      x = 19

b. |x| = –x jika x < 0

-(x – 7) = 12

          x ­– 7 = -12

    x = -12 + 7

    x = -5

Jadi, jawabannya adalah 19 atau -5.

c. Jika menggunakan konsep jarak maka pertanyaannya menjadi: berapa nilai titik x yang berjarak 12 dari titik 7?

Titik yang berjarak 12 dari titik 7 adalah 19 atau -5.

contoh soal persamaan nilai mutlak

Contoh 3. Hitung nilai x pada persamaan 2|x + 3|+5 = 15!

Jawab:

2|x + 3| + 5 = 15

2|x + 3| = 15 – 5

2|x + 3| = 10

|x + 3| =

|x + 3| = 5

Maka:

a. x + 3 = 5

       x = 5 – 3

       x = 2

b. – (x + 3) = 5

      x + 3 = -5

            x = -5 – 3

            x = -8

Jadi nilai x adalah 2 atau -8

c. Dengan menggunakan konsep jarak, maka

|x + 3| = 5 menjadi |x – (-3)| = 5

Jadi, berapa nilai titik x? Titik x berjarak 5 satuan dari (-3). Maka titik x adalah 2 atau -8.

 

contoh soal persamaan nilai mutlak

Contoh 4. Selesaikan persamaan berikut |x + y| + |3x + 6| = 0!

Jawab:

Dari soal tersebut bisa dilihat bahwa |x + y| dan |3x + 6| bernilai positif. Apabila di jumlahkan kemungkinan hasilnya adalah nol (0) jika |x + y| bernilai 0 dan |3x + 6| juga bernilai 0. Maka,

contoh soal persamaan nilai mutlak

 

Substitusikan x ke  y=-x untuk mencari nilai y

y = -x

y = –(-2)

y = 2

Hasilnya adalah x=-2 dan y=2.

B. Persamaan Nilai Mutlak Satu Variabel

 

Sifat-sifat persamaan linear mutlak satu variabel:

Untuk setiap a, b, c dan x bilangan real, maka

  1. Jika |ax + b| = c dengan c ≥ 0, maka berlaku sifat berikut:
  2. |ax + b| = c untuk x
  3. |ax + b| = c untuk x <
  4. Jika |ax + b| = c dengan c < 0 maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan

 

Contohnya:

Contoh 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |3x + 1| = 10!

Jawab:

|3x + 1| = 10 dari persamaan tersebut dapat diketahui bahwa c = 10 yaitu 0, maka berlaku :

|3x + 1| bernilai 3x + 1 jika x  atau bernilai –(3x + 1) jika x <

Dengan interval sebagai berikut:

contoh soal persamaan nilai mutlak

 

Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

a. Untuk x , maka

3x + 1 = 10

3x = 10 – 1

3x = 9

       x = 9/3

       x = 3

x = 3 memenuhi syarat x   jadi x = 3 memenuhi.

b. Untuk x < , maka

-(3x + 1) = 10

3x + 1 = –10

3x = -10 – 1

                 3x = –11

                   x = -11/3

x = -11/3 memenuhi syarat  x <

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan |3x + 1| = 10  adalah x = 3 atau x = -11/3.

 

Contoh 2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 4| + |x – 5| = 12!

Jawab:

Pertama, kita harus mencari batas-batas x dengan cara:

2x – 4 = 0

2x = 4         dan    x – 5 = 0

        x = 4/2                      x = 5

       x  = 2

Dari persamaan |2x – 4| + |x – 5| = 12 dapat diketahui bahwa nilai c ≥ 0 yaitu 12, maka:

|2x – 4| bernilai 2x – 4 jika x ≥ 2 atau bernilai –(2x – 4) jika x < 2, dan

|x – 5| bernilai x – 5 jika x ≥ 5 atau bernilai –(x – 5) jika x < 5

Diperoleh interval sebagai berikut:

contoh soal persamaan nilai mutlak

 

Sehingga persamaannya menjadi

a. Untuk x < 2

|2x – 4| + |x – 5| = 12 menjadi

-(2x – 4) + (-(x – 5)) = 12

-2x + 4 –x + 5 = 12

-3x + 9 = 12

-3x = 12 – 9

-3x = 3

                             x = -1

 

 

Memenuhi, karena x = -1 berada pada x < 2

b. Untuk 2 ≤ x < 5

|2x – 4| + |x – 5| = 12 menjadi

2x – 4 + (-(x – 5)) = 12

2x – 4 – x + 5 = 12

                    x + 1 = 12

                                        x = 12 – 1

                         x = 11

Tidak memenuhi, karena x = 11 tidak berada pada interval 2 ≤ x < 5

c. Untuk x ≥ 5

|2x – 4| + |x – 5| = 12 menjadi

2x – 4 + (x – 5) = 12

3x -9 = 12

                    3x = 12 + 9

                    3x = 21

                      x = 21/3

                      x = 7

Memenuhi, karena x = 7 berada pada x ≥ 5

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 4| + |x – 5| = 12  adalah x = 1 atau x = 7.

 

Contoh 3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x + 3| = -3!

Jawab:

Dari persamaan |2x + 3| = -3 dapat diketahui bahwa c < 0 maka tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan. Pembuktian:

|2x + 3| bernilai |2x + 3| jika x   atau bernilai -|2x + 3| jika x <  

Diperoleh interval sebagai berikut:

contoh soal persamaan nilai mutlak Satu Variabel

a. Untuk x ,

Maka, |2x + 3| menjadi

2x + 3 = -3

2x = -3 – 3

2x = -6

        x = -6/2

       x = -3

 

Tidak memenuhi, karena x = -3 tidak pada domain x

b. Untuk x <

Maka, |2x + 3| menjadi

-(2x + 3) = -3

-2x – 3 = -3

-2x = -3 + 3

          –2x = 0

             x = 0

Tidak memenuhi, karena x = 0 tidak pada domain x <  

Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan |2x + 3| = -3.

Tinggalkan komentar